Three-body problem: caos, indecidibilidad y aleatoriedad

Seguramente algunos de ustedes han visto o se han interesado por la serie de ciencia ficción titulada 3 Body Problem en la que imaginan un sistema solar en el que hay tres soles lo cual pondría en peligro a las civilizaciones lejanas. Evidentemente no haré algún spoiler y les adelanto que la serie sí me gustó bastante así que se las recomiendo.

En esta edición de nuestro boletín hemos decidido hablar sobre tres conceptos matemáticos que tienen una definición muy precisa y que pueden utilizarse para estudiar el modelado de cualquier fenómeno físico o de algún conjunto de datos, a saber el caos, la indecidibilidad y la aleatoriedad. En algunos casos estos conceptos podrían confundirse y utilizaremos el Problema de los Tres cuerpos para ilustrar las diferencias. También incluiremos tres referencias en las que los lectores podría conocer más detalles matemáticos sobre el tema.

El problema de los tres cuerpos consiste en determinar la posición y velocidad de tres objetos con alguna masa utilizando únicamente:

1. La posición inicial y velocidad de estos objetos.
2. Las leyes de movimiento de Newton.
3. Las leyes de la gravitación universal de Newton.

Teoría del caos y Henri Poincaré

Comprender correctamente la definición de un sistema caótico requiere algún entrenamiento matemático, posiblemente la primera persona que se enfrentó a un fenómeno de este tipo fue el genio francés Henri Poincaré, precisamente en el estudio de los cuerpos celestes.

Aunque tradicionalmente el caos se presenta como un fenómeno en el que las perturbaciones de las condiciones iniciales afectan poderosamente el futuro, esta no es la única definición matemática del caos, el cual también se puede presentar por medio de las órbitas periódicas densas.

Una órbita periódica también se puede entender como un conjunto "pequeño" dentro de un espacio, los científicos de datos podrían pensar en el comportamiento de una pequeña parte de la población, también podríamos decir ruido. Decir que estas órbitas son densas, matemáticamente quiere decir que cualquier elemento puede aproximarse correctamente utilizando órbitas densas. El científico de datos diría que cualquier registro (al realizar inferencia por ejemplo) puede aproximarse por este ruido lo cual evidentemente es un fenómeno indeseable.

Hace más de 100 años Poincaré descubrió a las órbitas Homoclínicas en el problema de los tres cuerpos las cuáles son la intersección entre el conjunto estable y el inestable.

Referencia sugerida: Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and “chaos”.

Indecidibilidad y Kurt Gödel

A diferencia del comportamiento caótico, un sistema será indecidible cuando existan resultados objetivamente ciertos que desafortunadamente no se pueden deducir utilizando la lógica interna del sistema.

En general están relacionados con un proceso finitista parecido a un código de programación o a una demostración matemática codificados en el lenguaje del sistema. Por ejemplo la aritmética tradicional que contiene tanto a la suma como a la multiplicación contiene enunciados ciertos pero indemostrables cuando utilizamos a la misma aritmética para codificar demostraciones matemáticas.

En Machine Learning por ejemplo resultados sobre la convergencia de un modelo matemático se han probado indecidibles de una manera muy similar a los clásicos problemas de la parada de Turing.

Referencia sugerida: Decidability and Undecidability in Dynamical Systems

Aleatoriedad y Bernoulli

Este es el concepto matemático más utilizado para modelar fenómenos contenidos en las bases de datos, inclusive modelos como Chat GPT utilizan la aleatoriedad como una manera de simplificar el modelado matemático, si logramos amansar la distribución de nuestra variable objetivo a medida que se modifiquen las variables explicativas.

Para el problema de los tres objetos esta solución es particularmente interesante pues aunque en teoría se haya demostrado que es un sistema caótico, en la práctica sí es posible hacer excelentes predicciones por medio de simulaciones, por ejemplo cuando nuestros tres objetos fueran la tierra, el sol y la luna.

Referencia sugerida: A Statistical Solution to the Chaotic, Non-Hierarchical Three-Body Problem

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