Masaki Kashiwara: Premio Abel 2025
El día de hoy se entregó el Premio Abel 2025 al matemático japonés Masaki Kashiwara quien es uno de los co-fundadores de la teoría del análisis algebraico y ha hecho increíbles aportaciones a la geometría compleja, los sistemas de ecuaciones lineales y la teoría de representaciones. El premio Abel lo entrega anualmente la Academia Noruega de la Ciencia y las Letras y desde hace varios años se ha convertido en uno de los premios más importantes para las matemáticas.
En esta edición de nuestro Bourbakisme vamos a contarles sin muchos detalles algunas de las contribuciones por las que Kashiwara es uno de los matemáticos más prolíficos y brillantes del área. Quienes deseen presenciar la emoción de Kashiwara al recibir el premio pueden revisar el vídeo en el que se anuncia la entrega ¡Muchas felicitaciones!
El premio Abel
Niels Henrik Abel fue un brillante matemático noruego que nación en 1802 un momento en el que buena parte del álgebra como la conocemos ahora no había sido desarrollada aún, no es aventurado decir que en esa época había florecido el análisis pero aún no la teoría algebraica. Sus trabajos en el estudio de los grupos de simetría fueron indispensables para el desarrollo moderno de la teoría de grupos, hoy en día utilizamos el adjetivo "abeliano" para referirnos a un grupo en el que A x B es igual a B x A, notemos que a pesar de que esto es cierto en los números reales no lo es por ejemplo para las matrices. El que Kashiwara haya sido galardonado con el premio Abel es muy especial pues buena parte de su trabajo está relacionado con el uso de métodos algebraicos en contextos geométricos o analíticos.
El joven Masaki Kashiwara
Nació en 1947 muy cerca de la ciudad de Tokio y desde muy joven destacó por su gran habilidad para realizar razonamientos abstractos. Una historia que se cuenta sobre él es cuando resolvió el siguiente problema siendo muy joven:
Supongamos que sabemos cuántas patas en total tiene un conjunto de tortugas y de grullas (las primeras tienen 4 y las segundas dos cada una). Además supongamos que sabemos la cantidad de cabezas totales, entre las de las grullas y las de las tortugas. ¿Cuántas grullas y cuántas tortugas están en el grupo?
Es un ejercicio muy sencillo con dos ecuaciones lineales en dos variables lo cual Kashiwara descubrió. Seguramente motivado por la gran utilidad que tiene el pensamiento algebraico para la solución de problemas, continuó su carrera en la Universidad de Tokio bajo la mentoria del grandísimo matemático Mikio Sato quien falleció hace pocos años.
Bajo la dirección de Sato escribió una tesis de maestría que durante más de 25 años a pesar de solo estar escrita en japonés fue un texto de referencia para el desarrollo de la teoría conocida como los D Módulos. Pueden encontrar una traducción al inglés en esta liga.
¿Qué son los D-Módulos?
Una de las ideas modernas en matemáticas importantes es el estudio geométrico mediante la caracterización de las funciones que pueden ser definidas sobre el objeto geométrico. Por ejemplo para estudiar topología de un espacio es necesario conocer cuáles son las funciones continuas que pueden definirse en ese espacio. De la misma forma si pensamos en los ceros de un polinomio como un objeto geométrico, el conjunto de todas las funciones que sean una división entre dos polinomios y puedan ser compatibles con el polinomio original, es la base de la geometría algebraica moderna.
Matemáticos brillantes como Alexander Grothendieck notaron que las propiedades algebraicas que satisfacen las funciones definidas en un objeto se pueden traducir en conclusiones geométricas, de alguna manera existe una dualidad entre la geometría y el álgebra.
Kashiwara se dedicó a estudiar variedades complejas desde las propiedades algebraicas que satisfacen los operadores diferenciales sobre estas variedades, pensemos en una ecuación diferencial o mejor aún en un sistema de ecuaciones diferenciales compatibles con la definición de la variedad algebraica. A estos conjuntos algebraicos se les conoce como D-Módulos y son la base del estudio moderno de muchas de las variedades complejas. Su trabajo lleva las ideas de Grothendieck a un extremo en el que es posible hacer análisis casi infinitesimal únicamente utilizando las propiedades algebraicas de los operadores.
Uno de los grandes teoremas que demostró Kashiwara fue una generalización del vigésimo primer problema de Hilbert cuya solución se conoce como la correspondencia de Riemann-Hilbert. Este problema se pregunta lo siguiente:
Dada una estructura algebraica abstracta (un grupo), es posible encontrar un sistema de ecuaciones diferenciales lineales cuyo grupo de monodromía sea el dado originalmente.
Este problema es uno de los más importantes en el área y a pesar de haber sido demostrado anteriormente, sus teoremas lo generalizaron enormemente. Otro gran resultado en esta misma dirección es la prueba de que objetos en un principio definidos de manera analítica satisfacen la propiedad de constructibilidad, en matemáticas esta propiedad significa que puede expresarse únicamente utilizando la conjunción, la disyunción y la negación.
¿Dónde aprender matemáticas y sus aplicaciones?
En el Colegio de Matemáticas Bourbaki enseñamos con detalle las matemáticas y las bases para que nuestros estudiantes estén listos para aprender los modelos más avanzados de Inteligencia Artificial, Ciencia de Datos y Finanzas Cuantitativas. Estos son los dos cursos que están por comenzar y durarán todo el 2025.
- Track de Ciencia de Datos. (49 semanas).
- Machine Learning & AI for the Working Analyst ( 12 semanas).
- Matemáticas para Ciencia de Datos ( 24 semanas).
- Especialización en Deep Learning. (12 semanas).
- Track de Finanzas Cuantitativas (49 semanas)
- Aplicaciones Financieras De Machine Learning E IA ( 12 semanas).
- Las matemáticas de los mercados financieros (24 semanas).
- Deep Learning for Finance (12 semanas).
