Números primos, ceros de Siegel y la afirmación de Zhang

Hace algunas semanas el célebre matemático Yitang Zhang publicó un artículo titulado Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero. Este artículo es muy relevante para la comunidad matemática pues afirma demostrar uno de los resultados más importantes sobre la función zeta de Riemann. Esta función controla el conteo de los números primos lo cual es uno de los misterios más grandes en matemáticas.

El anuncio no solo es llamativo por la importancia del resultado sino también porque hace algunos años Yitang Zhang saltó a la fama por demostrar la existencia de una infinidad de parejas de números primos extremadamente cercanos, este era uno de los problemas abiertos en matemáticas más complicados y es notorio que Zhang a pesar de ser un excelente matemático, no figuraba entre los posibles candidatos para semejante hazaña.

Existe mucho interés sobre la veracidad del resultado que afirma Zhang y en esta edición de nuestro boletín nos proponemos aclarar algunos puntos sobre el enunciado para la audiencia en general. El artículo comienza con algunas consideraciones generales sobre el tema.

El texto está dividido de la siguiente manera:

1. Teorema fundamental de la aritmética y el producto de Euler
2. Progresiones aritméticas y el teorema de Dirichlet
3. Los ceros de Siegel y la afirmación de Zhang

Teorema fundamental de la aritmética y el producto de Euler

El teorema fundamental del aritmética es un resultado que podría parecer muy intuitivo sin embargo su demostración no es enteramente trivial, para enunciarlo debemos comenzar con la definición de un número primo:

Un número primo es un número mayor a uno sin decimales que no puede dividirse sin dejar residuo por ningún otro número positivo, sin decimales y distinto del uno.

Por ejemplo los números 2,3,5,7,11,13,17,... son números primos. Por otro lado el número 4 no es primo pues puede dividirse entre 2, el número 6 no es primo pues puede dividirse por 3, el número 8 no es primo pues puede dividirse por 4, etc.

Intuitivamente podemos decir que los números primos son los ladrillos con los que se construyen todos los números sin decimales, de hecho el teorema fundamental de la aritmética formaliza esta idea:

Cualquier número N sin decimales puede escribirse de manera única como el producto de las coordenadas de un vector infinito:

Por ejemplo, el número 660 = (2^2)(3^1)(5^1)(7^0)(11^1)(13^0)(17^0). Gracias al teorema fundamental del aritmética es posible escribir una de las fórmulas más importantes de las matemáticas, a saber el producto de Euler. Comencemos considerando la suma infinita de potencias de números primos:

Por increíble que parezca que una suma infinita pueda arrojar un resultado finito, esto es el caso para la suma anterior, de hecho es igual a 1/(1-(1/p)), más adelante regresaremos a este resultado. Por el momento consideremos la multiplicación de todos los términos anteriores, en un principio supondremos que no sabemos cuántos números primos existen.

Si multiplicamos un solo número dentro de los distintos corchetes obtenemos el producto de potencias de números primos distintos en el denominador, por lo cual gracias al teorema fundamental de la aritmética obtenemos cualquier número sin decimales:

Gracias a este resultado podemos concluir que la cantidad de números primos es infinita pues esta suma es infinita y por lo tanto el número de números multiplicándose también lo debería de ser.

El que el producto de las potencias de primos sea convergente es gracias a la teoría de las series geométricas la cual garantiza que si p es cualquier número primo y además x > 1 entonces es posible escribir la siguiente suma infinita como lo habíamos mencionado:

Gracias al razonamiento anterior podemos creer que el producto de Euler es un resultado cierto, la demostración rigurosa requiere un poco más de trabajo y de hecho prohíbe el caso x=1. La fórmula del producto de Euler es:

Progresiones aritméticas y el teorema de Dirichlet

Así como el producto de Euler nos permitió demostrar que existe una cantidad infinita de números primos, es posible demostrar que los números primos son suficientemente comunes. Para ello un matemático llamado Dirichlet probó que inclusive en subconjuntos no muy dispersos hay una infinidad de números primos.

Un buen ejemplo de un conjunto disperso es el análogo para números sin decimales de un modelo lineal, los modelos lineales son ampliamente utilizados en Machine Learning pues generalizan a las reglas de tres mediante la siguiente ecuación:

A estos conjuntos se les conoce como progresiones aritméticas, pensemos en el costo del trayecto de un taxi en el que el precio solo depende del número de kilómetros recorridos multiplicado por un costo fijo más el precio mínimo. Si el precio mínimo por subirse al taxi fuera de b=27 y cada kilómetro recorrido cuesta m=50, entonces el precio por recorrer uno, dos, tres, kilómetros sería 27, 77, 127, 177, etc...

El teorema que demostró Dirichlet es que existe una infinidad de números primos en la sucesión anterior y en cualquier otra en la que m y b no tengan un factor común. La sucesión 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, … no puede contener una cantidad infinita de números primos pues no cumple con las hipótesis del teorema de Dirichlet.

Para demostrar este teorema, él utilizó una familia de funciones conocidas como caracteres. Los caracteres de Dirichlet son funciones que son compatibles con la aritmética módulo 50 (siguiendo el ejemplo anterior y m en general). Imaginemos que solo utilizamos billetes de 50 para pagar el trayecto de un taxi, en ese caso para pagar dos trayectos (independientemente del número de kilómetros que recorremos) el cambio que recibiremos sería de 48 pesos. Esto es una consecuencia de que en la aritmética de 50, la suma 27 + 27 no es igual 54 sino 4, estas particularidades de la aritmética son capturadas por los caracteres de Dirichlet. A partir de ahora denotaremos a los caracteres de Dirichlet de la siguiente manera:

Utilizando los caracteres de Dirichlet es posible definir a las funciones L de Dirichlet las cuales satisfacen un análogo al producto de Euler. Es decir que si x>1 entonces se cumple lo siguiente:

Recordando lo que hicimos con la función zeta de Riemann en la primera sección, los valores de las funciones L cercanos a x=1 nos permitieron demostrar que existen una infinidad de números primos, la idea de la demostración del Teorema de Dirichlet es muy parecida.

Los ceros de Siegel y la afirmación de Zhang

No es casualidad que los valores de las funciones L cercanos a x=1 sean tan importantes para el estudio de los números primos, buena parte del estudio de la teoría de números analítica se concentra en comprender estas funciones.

Una de las conjeturas más famosas en matemáticas es la conjetura de los números primos gemelos, es decir aquellos de la forma p, p+2. El mismo Zhang junto a otros matemáticos lograron demostrar que existe una cantidad infinita de números primos de la forma p, p+246.  El resultado que afirma esta ocasión Zhang es sobre los llamados ceros de Siegel.

El matemático inglés Robert Heath-Brown demostró que la conjetura de los números primos está íntimamente relacionada con los valores de las funciones de Dirichlet cerca de x=1, particularmente demostró que si para cualquier m y caracter de Dirichlet sobre m, existe una constante C tal que la función L no valga cero en ningún número del siguiente intervalo:

Entonces la conjetura de los primos gemelos es cierta, notemos que nuevamente al igual que en la demostración de la infinidad de los números primos el comportamiento de estas funciones cerca del 1 es muy importante.

El resultado que afirma Zhang en su artículo más reciente habla precisamente sobre el comportamiento de la función L en x=1, no logra demostrar que no vale cero sino que es posible calcular una cota inferior explícita para esos valores, es decir que para algún C>0 se cumple:

Si su demostración es cierta es uno de los avances más importantes en la comprensión de los números primos en décadas.

El matemático Terence Tao ha sugerido que vale la pena esperar algunos meses más hasta que podamos estar seguros si la demostración de Zhang es correcta. ¡Mucha emoción!

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