Michel Talagrand: Premio Abel 2024
Hace algunas horas se anunció que el matemático francés Michel Talagrand es el ganador del Premio Abel 2024, uno de los reconocimientos más importantes para cualquier matemático. La cita del premio menciona los espectaculares resultados de Talagrand tanto en Teoría de la Probabilidad como en Análisis Funcional, considerando las aplicaciones tanto en física como en estadística.
El Premio Abel lo entrega la Academia Noruega de las Ciencias desde el 2003 y lo han recibido algunos de los matemáticos más brillantes de nuestra época. En el Colegio de Matemáticas Bourbaki estamos muy emocionados por este festejo a las matemáticas. Al final del artículo encontrarán una lista de referencias con algunos de los trabajos destacados de Talagrand.
Michel Talagrand
Estudió su doctorado en París en 1977 bajo la supervisión de Gustave Choquet, actualmente es Directeur de Recherches en el Centre national de la recherche scientifique, además es miembro de la Académie des sciences. Ha ganado importantes premios como el Shaw Prize o el Fermat Prize, también ha sido orador plenario en el International Congress of Mathematics.
Los premios Talagrand
Además de los innumerables artículos científicos que ha escrito, Talagrand ha redactado libros inmensos en los que re-visita tanto su propio trabajo como el de otros colegas, seguramente con el objetivo de mejorar la calidad de la teoría en la que él trabaja. Esta labor es encomiable y son muy pocos los matemáticos de se estatura que le dedican tanto trabajo como él a la estructura de su área de trabajo.
Uno de mis ejemplos favoritos es la redacción de los aquí llamados Premios Talagrand, los cuales han ofrecido entre 1,000 y 5,000 USD a quienes resuelvan algunos de los problemas que él reconoce como más relevantes. En el 2012 se resolvió la Conjetura de Bernoulli y como pueden ver en esta página dedicada a sus premios, el dinero se pagó.
Procesos estocásticos y valores extremos
La distribución gaussiana es el fenómeno aleatorio mejor entendido y en los mejores casos permite modelar a nuestra realidad. Desde un punto de vista casi axiomático podríamos pensar en la distribución de gauss como una medida de probabilidad simétrica en la que los valores muy lejanos a su promedio son exponencialmente improbables.
Por lo anterior podríamos decir que si los errores en el mundo fueran gaussianos, las tragedias o las catástrofes difícilmente sucederían, todo sería más seguro (o aburrido.
Por supuesto que existen fenómenos no-gaussianos y para ello se han estudiado otro tipo de distribuciones más adecuadas con el comportamiento de los errores observados. Si por ejemplo los precios de las casas siguieran una distribución gaussiana entonces sería muy poco probable que hayan viviendas mucho más caras o mucho más baratas que su media.
En nuestras consideraciones anteriores no tomamos en cuenta la dependencia de estos comportamientos a través del tiempo, lo cual frecuentemente complica mucho el problema pues podrían existir correlaciones temporales. El modelo matemático que estudia una variable a través del tiempo se le conoce como un proceso estocástico.
Talagrand demostró uno de los teoremas más importantes para los procesos estocásticos resolviendo la siguiente pregunta afirmativamente:
¿Es posible acotar el tamaño de los valores extremos de un proceso estocástico en función del tiempo?
De hecho siguiendo el ejemplo de las viviendas, podríamos definir a un proceso estocástico no solo como la evolución de una variable a través del tiempo sino como la evolución de una variable a través de un espacio, por ejemplo el precio de las casas dependiendo de su localización geográfica. Los resultados de Talagrand son tan generales que cuando la pregunta anterior la hacemos "en función de un espacio", este resultado siguen siendo cierto.
Desigualdades de concentración
Así como Talagrand estudió a los procesos estocásticos en los que las variables están correlacionadas ya sea temporal o espacialmente, también se interesó por aquellos fenómenos en los que una función (por ejemplo una estadística) depende de un conjunto de variables completamente independientes.
Como función pensemos por ejemplo en el promedio empírico de una muestra, digamos el lanzamiento de una moneda justa. En este caso nuestras variables independientes serán los lanzamientos.
Si bien es cierto que la ley de los grandes números pronostica que el promedio se aproxima a 1/2, es necesario un resultado mucho más exacto para calcular la frecuencia con la que el promedio empírico se aleja del 1/2. El resultado más poderoso para esto se le conoce como la desigualdad de Hoeffding y predice que considerando la escala correcta, toda la medida se concentrará cerca de la media.
Otro de los resultados más célebres de Talagrand es una extensa generalización de la desigualdad de Hoeffding que explica por qué en dimensiones gigantescas e independientes, la mayor parte de los objetos geométricos lipchitzianos se concentran en la escala correcta. Estos resultados tienen una interpretación geométrica muy similar a la de la desigualdad isoperimétrica que relaciona el volumen con el área de los objetos cerrados continuos.
Implicaciones en Ciencia de Datos
El resultado anterior tiene innumerables implicaciones en el estudio teórico de Machine Learning pues explica implicaciones tanto negativas para el entrenamiento de los modelos como positivas. A estos dos fenómenos se les conoce como la maldición y la bendición de la dimensión y son bien entendidos matemáticamente gracias a las medidas de concentración.
Aplicaciones a la física
Recientemente Talagrand demostró una fórmula de Parisi (premio Nobel de física) sobre la energía del modelo de Sherrington–Kirkpatrick. Este resultado es citado en el Premio Abel ye incluimos una referencia más adelante.
Oferta académica
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Tres referencias imperdibles
- Talagrand, M., 1994. Sharper bounds for Gaussian and empirical processes. The Annals of Probability, pp.28-76.
- Talagrand, M., 1995. Concentration of measure and isoperimetric inequalities in product spaces. Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Etudes Scientifiques, 81, pp.73-205.
- Talagrand, M., 2006. The Parisi formula. Annals of mathematics, pp.221-263.
