Luis A. Caffarelli premio Abel 2023: deshielo y opciones americanas.
El matemático nacido en Argentina Luis A. Caffarelli es el primer hispanoamericano en ganar el premio anual más importante en el área. ¡Muchas felicidades!
Antes de comenzar este artículo me gustaría invitar al lector a emocionarse junto a Caffarelli y su esposa la matemática Irene Martínez Gamba, este es el momento imperdible en el que les han confirmado la noticia:
El trabajo matemático de Caffarelli es considerado por los expertos como técnicamente virtuoso, la mayor parte está centrado en ecuaciones diferenciales sin frontera, dos ejemplos paradigmáticos son los siguientes:
- Supongamos que en un vaso con agua sin congelar agregamos un cubo de hielo, la diferencia de temperatura hará que el hielo se derrita, aunque sabemos cómo se disipa el calor (gracias a Fourier) e incluso podríamos conocer la figura del hielo, no conocemos la forma geométrica que se dibujará entre el hielo y el agua a medida que pasa el tiempo.
- Supongamos que tenemos una acción cuyos precios siguen un proceso de Lévy, es decir que permitiremos saltos abruptos. Si deseamos valuar el precio de una opción americana no conocemos ni el tiempo ni el precio en el que debemos de ejecutar el contrato y a esta función le llamaremos nuestra frontera.
He preparado junto a Gerardo Hernandez-del-Valle para el Colegio de Matemáticas Bourbaki un artículo de divulgación sobre el trabajo de Caffarelli para celebrar este emocionante momento.
El problema de Stefan y la regularidad
En 1890 el físico Josef Stefan propuso una ecuación diferencial que modele el fenómeno del hielo derritiéndose. Comprender la geometría de la solución de estas ecuaciones nos permitiría predecir matemáticamente en casos prácticos mucho más importantes que el del hielo en un vaso con agua, por ejemplo un medicamento que se propaga en nuestra sangre.
Una de las primeras preguntas que nos podríamos hacer sobre estas soluciones es por ejemplo la singularidad de algunos puntos. Diremos que un punto es singular cuando su geometría es sustancialmente distinta que el resto de puntos, matemáticamente este concepto está relacionado con la diferenciabilidad o suavidad de la figura geométrica. Durante muchos años no se comprendió la naturaleza de los puntos singulares de estas ecuaciones.
1977, Acta Matematica y la dualidad de Caffarelli
Pensemos por un instante de manera intuitiva en el hielo que se derrite, todos podemos acordar que independientemente de la figura geométrica que tenga el hielo inicial, al derretirse y mezclarse con el agua lo hará de una manera muy suave. Inclusive si el hielo tuviera alguna esquina caprichosa por ejemplo puntiaguda, esta punta se desvanecería a través del tiempo.
En 1977 Luis A. Caffarelli demostró matemáticamente dos hechos fundamentales para las ecuaciones de Stefan:
- Las ecuaciones de Stefan sí permiten algunos puntos singulares, es decir que durante el derretimiento del hielo aquellos puntos caprichosos podrían aparecer.
- La familia de puntos singulares es muy pequeña tanto en el espacio como en el tiempo, matemáticamente demostró que este conjunto es cerrado.
El problema del obstáculo
Para demostrar lo anterior Caffarelli utilizó algunos trabajos de G. Duvot de 1973 en el que demuestra que las ecuaciones de Stefan se pueden plantear localmente como un problema parabólico sin obstáculo, es decir un tipo de ecuación diferencial parcial ampliamente estudiada previo al trabajo de Caffarelli.
El hecho de que el problema del derretimiento del hielo satisfaga una ecuación diferencial de este tipo es muy importante pues para mostrar la equivalencia fue necesario demostrar que aproximadamente la dependencia de la temperatura sobre la distancia con la frontera es una parábola.
Hace algunos años el medallista Fields Alessio Figalli junto a sus colegas y estudiantes, continuando el trabajo de Caffarelli utilizó este planteamiento del problema para verificar algunas preguntas abiertas que aún quedaban por resolver en el problema de Stefan pues las predicciones del Caffarelli aún no eran lo suficientemente cercanas a los resultados experimentales.
Valuación de opciones americanas para procesos de Lévy
Tradicionalmente en el caso de opciones europeas es la ecuación de Black & Scholes la que nos permite valuar su precio a través del tiempo. Este es uno de los trabajos en matemáticas financieras más importantes tanto desde un punto de vista práctico como desde un punto de vista teórico.
Desafortunadamente para quienes trabajan con derivados financieros, las hipótesis de Black & Scholes podrían ser un poco restrictivas, por ejemplo nos gustaría poder ejecutar el contrato aún antes del tiempo de expiración, a esto se le conoce como una opción americana. La otra hipótesis es que en la práctica las acciones financieras no siempre satisfacen un proceso de Itô y podríamos necesitar hipótesis más generales como las de un proceso de Lévy en el que se incluye la posibilidad de saltos discontinuos.
En trabajos posteriores de Caffarelli, Figalli y otros autores, utilizando ecuaciones de obstáculo, demostraron que las soluciones de estas ecuaciones también son altamente regulares bajo condiciones bastante realistas desde un punto de vista financiero.
Oferta académica
- Track de Ciencia de Datos. (49 semanas).
- Machine Learning & AI for the Working Analyst ( 12 semanas).
- Matemáticas para Ciencia de Datos ( 24 semanas).
- Especialización en Deep Learning. (12 semanas).
- Track de Finanzas Cuantitativas (49 semanas)
- Aplicaciones Financieras De Machine Learning E IA ( 12 semanas).
- Las matemáticas de los mercados financieros (24 semanas).
- Deep Learning for Finance (12 semanas).
