Lo mejor del 2024 en matemáticas (7 artículos formidables)
El año 2024 está por terminar y en el Colegio de Matemáticas Bourbaki estamos muy contentos por presentarles nuevamente nuestra selección de algunos de los mejores trabajos en Matemáticas de este año. La investigación en matemáticas puras es indispensable para muchas otras áreas como la física, la inteligencia artificial, las finanzas, la ingeniería y un gran etcétera.
Samos que es difícil juzgar cuáles son los 7 trabajos más importantes e inclusive es muy difícil elegir qué corresponde estrictamente al 2024: ¿Cuando se anunció? En muchos casos se anuncian resultados que terminan siendo falsos o peor aún su verificación podría tomar años. ¿Cuando se publicó? Es posible que algunos de estos trabajos publicados en el 2024 hayan sido aceptados por la comunidad matemática hace mucho tiempo. Hemos intentado ser cuidadosos en encontrar un equilibrio y presentar resultados que llamaron la atención de la comunidad en este año.
Más adelante en la semana les presentaremos nuestro Top 7 sobre Inteligencia Artificial y sobre Finanzas Cuantitativas. Hemos añadido las referencias originales a los artículos que hemos elegido esperando que nuestros estudiantes disfruten no solo nuestro texto sino los detalles.
La conjectura de Langlands geométrica
Quizás el resultado menos difícil de coincidir en que debe de estar en una lista sobre las matemáticas del 2024 es la demostración lidereada por Dennis Gaitsgory y Sam Raskin de la versión geométrica de Langlands. Es importante mencionar que el enunciado de esta demostración es extremadamente técnico y posiblemente solo un estudiante de doctorado especializado en esta área podría comprender los detalles. La demostración completa debe de tener más de 800 páginas y es el resultado del trabajo de aproximadamente 3 décadas.
Se le llama versión geométrica porque se fija una curva sobre un campo, un grupo reductivo y se comparan dos categorías de gavillas de la curva X cuyos objetos son G-equivariantes. Estas dos categorías corresponden a dos puntos de vista distintos para estudiar la geometría de las curvas: de un lado está el lado automorfo y del otro el lado espectral. Una analogía útil para comprender estos dos lados es el análisis de Fourier en el que existe una correspondencia perfecta entre la gráfica de una onda como la del sonido a través del tiempo y el espectro de la frecuencia de esa misma onda.
En en 1976 Robert Langlands le escribió al mítico matemático francés André Weil una carta de 17 páginas en las que describió lo que hoy se conoce como el programa de Langlands el cual tiene distintas versiones, una de ellas siendo la geométrica. En otra de sus versiones que aún no ha sido demostrada se puede utilizar para comprender mejor las soluciones de ecuaciones diofantinas.
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Un gran avance (latinoamericano) en la conjetura ABC
En el 2024 también se anunció y publicó el primer gran avance de la conjetura ABC en décadas desde que este problema fue planteado por primera vez. Debemos mencionar que este es el mimo problema que ha causado una gran controversia en los últimos años debido a que un matemático japonés llamado Shinichi Mochizuki afirmó haber demostrado este teorema mediante técnicas completamente nuevas las cuales en un principio parecieron imposibles de digerir para la comunidad matemática. Hace unos años los matemáticos Scholze y Stix encontraron un error en los trabajos de Mochizuki con lo cual se concluyó que aún no estaba demostrada la conjetura.
El matemático chileno Héctor Pastén el cual es una de las grandes mentes en todo latinoamérica demostró hace unos meses una mejora sobre los resultados de la conjetura ABC. El enunciado es difícil de explicar con detalle pero podemos dar una idea sobre las dificultades que trata su trabajo.
Es ampliamente conocido que la factorización de un número en producto de primos es un problema muy complicado pues prácticamente los únicos métodos para lograrlo son la fuerza bruta con lo cual una computadora podría tardarse mucho tiempo en lograrlo.
Una manera de intentarlo podría ser descomponer la factorización en tareas más sencillas utilizando el clásico lema en computación "divide y vencerás". Si intentamos utilizar una operación matemática como la multiplicación para descomponer en tareas más sencillas, esto sería redundante sin embargo podríamos intentarlo con otra operación como la suma. Es decir, supongamos que sabemos algo sobre la descomposición en números primos de un N cualquiera, ¿podríamos decir algo sobre la descomposición en productos primos de por ejemplo N^2 + 1? Notemos que esto sería genial pues al elevar al cuadrado nos hemos alejado lo suficiente en la recta y estamos hablando de números bastante más grandes. El resultado que demostró Héctor Pastén garantiza una nueva cota mínima sobre los primos que dividen a N^2 + 1. Utilizando variedades de Shimura no solo logró este resultado sino mejoró las cotas conocidas de la conjetura ABC.
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La longuitud mínima para construir una banda de Möebius
Las bandas de Möebius son objetos fascinantes que podemos construir con una tira de papel, supongamos que tenemos un rectángulo hecho de papel que tiene altura 1 y anchura igual a D, si pegamos los dos lados del papel que tienen lado 1 en el mismo sentido del rectángulo entonces formaremos un anillo con ancho uno y con perímetro igual a D. En cambio podríamos pegar los dos lados con longitud 1 en el sentido opuesto para formar una banda de Möebius como se ilustra en este dibujo.
Una pregunta muy interesante es cuál es la longitud que necesitamos para garantizar que esta construcción es posible. Cuando ustedes lo intenten notaran inmediatamente que es necesario que D tenga una longitud mínima pues de otra forma el papel simplemente no se puede doblar. En un trabajo magnífico aceptado en Annals of Mathematics durante este año Richard Evan Schwartz demostró que si el lado que vamos a pegar es igual a uno, entonces D debe de ser por lo menos √ 3. De hecho se demostró que la llamada Banda de Möebius triangular es el caso límite óptimo respecto a la longitud mínima posible.
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La conjetura de Milnor es falsa
La curvatura de Ricci es uno de los objetos más importantes de la geometría, ha sido fundamental por ejemplo para demostrar al famosa conjetura de Poincaré. Es conocido que tener una curvatura negativa no aporta gran información topológica sobre las variedades y el brillante matemático Jhon Milnor conjeturó que tener una curvatura no negativa para una variedad completa implicaba un grupo fundamental finitamente generado.
A grandes rasgos el grupo fundamental de una variedad es una construcción algebraica que estudia la cantidad de huecos que existen como espacio topológico, mientras más huecos tenga una de estas variedades, el grupo fundamental será más complejo. En este año se anunció y publicó que el grupo fundamental de una variedad con las hipótesis antes mencionadas no siempre es finitamente generado a partir de dimensión 7. Este resultado es increíble pues la complejidad a partir de una dimensión razonablemente pequeña comparada con la que se utiliza en Inteligencia Artificial es enorme.
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La conjectura de la litera para grafos es falsa
Uno de los resultados más sorprendentes durante este año es sin lugar a dudas el la falsedad de la conjetura de la litera en teoría de grafos. El enunciado no solo es sencillo de enunciar sino que parece demasiado intuitivo. Un equipo con una gran perseverancia demostró que este resultado no es cierto a pesar de que parezca tan poco creíble. Es muy intereante notar que este resultado al inicio fue intentado por métodos de redes neuronales profundas y se logró demoatrar que es extremadamente improbable que la conjetura se falsa sin embargo después de una colaboración con un equipo que trabajaba con hiper-grafos se logró una demostración matemática.
Enunciemos ahora el resultado, supongamos que tenemos doa copias idénticas G,G' de un grafo (intuitivamente digamos que una de estas copias es la parte de arriba de la litera y la otra la de abajo), supongamos que unimos de cualquier manera a la parte de arriba con la de abajo. Ahora vamos a eliminar algunas de las aristas de la litera de manera aleatoria siguiendo exactamente el mismo espacio de probabilidad en las dos copias G y G', es decir que si una arista en G tiene 50% de probabilidad de eliminarse entonces la correspondiente en G' también tendrá la misma probabilidad. Lo anterior no significa que se si se elimina un también se eliminará la otra, solo tienen las mismas oportunidades. Todas las aristas que unen a G con G' se dejarán. Ahora nos gustaría comparar la probabilidad de saliendo de un nodo P en G, llegar tanto al nodo Q en G como al correspondiente Q' en G'. La afirmación de la conjetura dice que llegar a Q no puede ser menos probable que llegar a Q', lo cual parece bastante razonable ¡Pues estamos empezando en P que está en G! Esta conjetura a pesar de ser cierta en muchos casos es falsa en general.
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La conjectura de Aldous-Lyons y la indecidibilidad
Uno de los resultados más llamativos de este año fue anunciado hace muy poco tiempo, se trata de una demostración de la falsedad de la conjetura de Aldous-Lyons la cual relaciona muchas áreas distintas de las matemáticas. Originalmente la conjetura se originó en teoría de probabilidad sin embargo es equivalente a la existencia de ciertos sub-grupos dentro del grupo libre llamados Sofic-subgroup.
Utilizando métodos provenientes de la teoría de la complejidad se demostró la falsedad de esta conjetura y además en un artículo que aún no ha sido publicado se anunció la indecidibilidad de este problema.
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Reduciendo los contra-ejemplos a la hipótesis de Riemann
La conjetura de Riemann es seguramente el problema más famoso de matemáticas y en el que solo los matemáticos ungidos por un talento excepcional podrían hacer contribuciones. Este es el caso de James Maynard quien es uno de los últimos ganadores de la medalla fields. En un trabajo junto a Larry Guth logró demostrar que los contra-ejemplos a la conjetura de Riemann, es decir ceros de la función de Riemann sin parte real igual a 1/2 son aún menos probables de lo que uno esperaría. Sorprendentemente los mismos métodos utilizados pueden acotar la cantidad de números primos en intervalos pequeños.
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¿Dónde aprender matemáticaa y sus aplicaciones?
En el Colegio de Matemáticas Bourbaki enseñamos con detalle las matemáticas y las bases para que nuestros estudiantes estén listos para aprender los modelos más avanzados de Inteligencia Artificial. Todos los perfiles y necesidades son bienvenidos pues los curso son progresivos. Pueden revisar información en las páginas Track de Finanzas Cuantitativas & AI y Track de Ciencia de Datos.
Compartimos con ustedes algunos de nuestros temarios de cursos por iniciar:
- Track de Ciencia de Datos. (49 semanas).
- Machine Learning & AI for the Working Analyst ( 12 semanas).
- Matemáticas para Ciencia de Datos ( 24 semanas).
- Especialización en Deep Learning. (12 semanas).
- Track de Finanzas Cuantitativas (49 semanas)
- Aplicaciones Financieras De Machine Learning E IA ( 12 semanas).
- Las matemáticas de los mercados financieros (24 semanas).
- Deep Learning for Finance (12 semanas).
