Cuatro objetos matemáticos favoritos
Aunque algunas de las ideas matemáticas más bellas sean abstractas, en algunos otros casos es posible representar estas ideas de una manera muy concreta, inclusive por medio de objetos que podemos tocar. En este artículo hemos elegido 4 objetos tres dimensionales que podemos tocar con nuestras manos y que desde nuestro punto de vista son algunos de los favoritos para representar bellas ideas o problemas matemáticos.
La lista es la siguiente:
- El Icosaedro de Platón
- El Gömboc de Arnold y Domokos
- La teselación de Penrose
- El tetraedro de Reuleaux-Meissner
También hemos agregado ligas de artículos de podrían ser de utilidad para quienes deseen aprender más sobre estos objetos y las matemáticas detrás así como de las aplicaciones prácticas en las que se pueden utilizar.
Platón y el icosaedro
Platón es conocido en matemáticas por su trabajo en la clasificación de los sólidos regulares, conocidos como sólidos platónicos, que son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares y en los que el mismo número de caras se encuentra en cada vértice. En su diálogo "Timeo", Platón asocia cada uno de estos sólidos con los elementos fundamentales del cosmos, y el icosaedro es el que representa el agua.
El icosaedro es un poliedro regular que se caracteriza por tener 20 caras triangulares, 30 aristas y 12 vértices. Su simetría y proporciones armoniosas lo convierten en una figura fascinante en el estudio de la geometría. Los ángulos en cada una de sus caras son iguales y, debido a su forma, el icosaedro es uno de los poliedros más utilizados en diversas aplicaciones.
Los icosaedros están profundamente relacionados con la investigación del ganador del premio Nobel de Química Dan Shechtman quien inició el estudio de los cristales cuasiperiódicos por medio del estudio de la denominada fase icosahédrica inspirada en este sólido.
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Arnold y el Gömboc
El Gömboc es un objeto tridimensional que se destaca por sus propiedades únicas de equilibrio y estabilidad. Fue diseñado en 2006 por el matemático húngaro Gábor Domokos y el ingeniero Péter Várkonyi. A diferencia de otros objetos que pueden tener múltiples puntos de equilibrio, el Gömboc posee un único punto de equilibrio estable y uno inestable. Esto significa que, al ser colocado en cualquier posición, eventualmente regresará a su posición de equilibrio estable.
El Gömboc está estrechamente relacionado con el trabajo del matemático ruso Vladimir Arnold, quien fue una figura influyente en el campo de la matemática y la dinámica. Aunque Arnold no diseñó el Gömboc, su investigación sobre la estabilidad de los puntos de equilibrio y las propiedades de los cuerpos en movimiento tuvo un impacto significativo en la comprensión de este objeto. En particular, Arnold formuló preguntas sobre la existencia de formas que pudieran tener un único punto de equilibrio estable, lo que inspiró el trabajo de Gábor Domokos y Péter Várkonyi en la creación del Gömboc.
El diseño del Gömboc se basa en una forma geométrica que no tiene simetría rotacional, lo que contribuye a sus características de equilibrio. Su forma es compleja y, aunque puede parecerse a una esfera o a un elipsoide, se diferencia en que su superficie está diseñada de tal manera que se comporta de forma predecible en función de su forma y gravedad. Este objeto ha sido objeto de estudios matemáticos y físicos, y ha despertado el interés en campos como la robótica y la ingeniería, donde se investigan las implicaciones de su comportamiento en el diseño de sistemas que necesitan estabilidad.
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Penrose y la teselación aperiódica
La teselación de Penrose es un tipo de mosaico no periódico que se basa en la utilización de formas geométricas que se pueden repetir indefinidamente sin crear un patrón que se repita. Fue desarrollada por el matemático y físico Roger Penrose en la década de 1970 y se compone de dos tipos de formas: los rombos y los triángulos. A diferencia de las teselaciones periódicas, donde el patrón se repite en intervalos regulares, las teselaciones de Penrose crean un diseño que, aunque parece ordenado, carece de un ciclo repetitivo, lo que las convierte en un objeto de estudio fascinante en el campo de la matemática y el arte.
Una de las propiedades más interesantes de la teselación de Penrose es su capacidad para exhibir simetrías complejas. A pesar de que no se repite de manera regular, mantiene un cierto grado de orden, lo que permite que sea visualmente atractiva. Además, su estructura tiene implicaciones en la teoría de quasicristales, que son materiales que poseen un orden a largo alcance sin periodicidad. Los quasicristales se comportan de manera similar a las teselaciones de Penrose, lo que ha llevado a un mayor interés en estas estructuras tanto en la ciencia de materiales como en la física.
En el ámbito del arte y el diseño, la teselación de Penrose ha inspirado a numerosos artistas y arquitectos, quienes han explorado sus patrones intrigantes y su estética única. Se pueden encontrar ejemplos de estas teselaciones en diversas obras de arte contemporáneo, así como en la arquitectura moderna. Además, su uso se ha extendido a la creación de superficies en tres dimensiones y a patrones en textiles, lo que demuestra la versatilidad y el atractivo visual de este tipo de teselación. A través de su estudio, Penrose no solo ha contribuido a la comprensión matemática de los patrones, sino que también ha influido en el diseño y la creatividad en múltiples disciplinas.
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Reuleaux-Meissner y su tetraedro
El tetraedro de Reuleaux es un poliedro de forma curiosa que se utiliza como ejemplo de un sólido que tiene una superficie de revolución pero no es un sólido de revolución en el sentido clásico. Es conocido por tener una forma que permite que, a pesar de su geometría no convencional, se mantenga un volumen constante. Este sólido es un derivado de la figura conocida como el "tetraedro de Reuleaux", que se obtiene al tomar un tetraedro regular y redondear sus aristas, generando una forma que tiene la propiedad de que la distancia entre cualquier par de puntos en su superficie es constante.
Una de las propiedades más notables del tetraedro de Meissner es que, al igual que otros sólidos de Reuleaux, se puede rotar y, a la vez, mantener un ancho constante. Esto significa que, aunque no es un sólido de revolución en el sentido tradicional, su estructura permite una rotación que resulta en una superficie continua y suave. Este rasgo lo convierte en un objeto fascinante en el estudio de la geometría y en el análisis de los movimientos de sólidos en el espacio. Las propiedades de este tetraedro lo han llevado a ser considerado en estudios sobre dinámica y mecanismos, así como en la investigación de formas ideales para el diseño de ciertos tipos de herramientas.
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